Время работы прибора случайная величина

Экспоненциально распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

Функция распределения величины $X$:

Здесь $lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_$, $D_$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | lt 3sigma$ («правило $3sigma$» для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или
экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятно-
сти имеет вид

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

(2.35)

где

Время работы прибора случайная величина

> 0 параметр распределения.

График плотности f(х) приведен на рис. 32.

Время работы прибора случайная величина

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

(2.36)

Время работы прибора случайная величина

График F(x) представлен на рис. 33.

Время работы прибора случайная величина

Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного
распределения:

Время работы прибора случайная величина

=[интегрируем по частям] =

=

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

=[дважды интегрируем по частям]=

=

Время работы прибора случайная величина

=

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

,

Время работы прибора случайная величина

(2.37)

Найдем вероятность попадания случайной величины X, распределен-
ной по показательному закону, в интервал (а,b). Используя форму-
лу (2.2) и формулу (2.36), получаем

Время работы прибора случайная величина

Пример 2.12. Случайная величина Т – время работы радиолампы
имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лам-
па проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радио
лампы 400 часов.

О МТ = 400, значит (формула (2.37)),

Время работы прибора случайная величина

Искомая вероятность

Время работы прибора случайная величина

Показательное распределение используется в приложениях теории
вероятностей, особенно в теории массового обслуживания (ТМО), в фи-
зике, в теории надежности. Оно используется для описания распреде-
ления случайной величины вида: длительность работы прибора до пер-
вого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового
обслуживания и т.д.

Рассмотрим, например, н. с. в. Т — длительность безотказной ра-
боты прибора. Функция распределения с. в. Т, т. е.

Время работы прибора случайная величина

,
определяет вероятность отказа за время длительностью t. И, значит,
вероятность безотказной работы за время t равна

Время работы прибора случайная величина

. Функция R(t) называется функцией надежности.

Случайная величина Т часто имеет показательное распределение.
Ее функция распределения имеет вид

Время работы прибора случайная величина

(формула (2.36)).
В этом случае функция надежности имеет вид

Время работы прибора случайная величина

т.е.

Время работы прибора случайная величина

,где

Время работы прибора случайная величина

— интенсивность отказов, т. е. среднее число отказов в единицу времени.

Показательный закон — единственный из законов распределения,
который обладает свойством «отсутствия последствия» (т. е. если про-
межуток времени Т уже длился некоторое время

Время работы прибора случайная величина

, то показатель-
ный закон распределения остается таким же и для оставшейся части

Время работы прибора случайная величина

промежутка).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность вероятности имеет вид:

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

График плотности распределения случайной величины по показательному (экспоненциальному) закону

Функция распределения F(X) случайной величины X, распределенной по показательному закону, выражается формулой:

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

График функции распределения случайной величины по показательному (экспоненциальному) закону

λ — параметр распределения.

Математическое ожидание равно:

Время работы прибора случайная величина

Дисперсия равна:

Время работы прибора случайная величина

Среднеквадратическое отклонение (СКО) равно:

Время работы прибора случайная величина

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), находится по формуле:

Показательное распределение применяют в теории массового обслуживания и надёжности, для моделирования времени безотказной работы, длительности безаварийной работы приборов и машин, демографии и т. д. Пример, устройство после включения ломается через короткий промежуток времени.

Случайная величина X – время работы лампы накаливания. Случайная величина подчинена показательному распределению. Определить вероятность того, что время работы лампы накаливания будет не меньше 800 часов, если среднее время работы лампы накаливания 400 часов.

В соответствии с условием задачи, математическое ожидание M(x) случайной величины X равно 400 часам, отсюда следует, что

Подставляя в формулу выше, получаем вероятность

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Определение 2. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ > 0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

Время работы прибора случайная величина

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Время работы прибора случайная величина

Кривая распределения f(х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис. 6.5 и рис. 6.6.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X) =

Время работы прибора случайная величина

, D(X)=

Время работы прибора случайная величина

,

Время работы прибора случайная величина

.

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a 120) = 1

Время работы прибора случайная величина

F(120) =1

Время работы прибора случайная величина

(1

Время работы прибора случайная величина

е — 1,2 ) = е — 1,2 ≈ 0,3.

Источник