Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Погрешности измерений

Общие сведения об измерениях. Погрешности измерений и средств измерений

Общие сведения об измерениях

Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Под измерением понимается процесс экспериментального сравнения данной физической величины с однородной физической величиной, значение которой принято за единицу.

Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера.

Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительные приборы классифицируются по различным признакам. Например, измерительные приборы можно построить на основе аналоговой схемотехники или цифровой. Соответственно их делят на аналоговые и цифровые. Ряд приборов, выпускаемых промышленностью, допускают только отсчитывание показаний. Эти приборы называются показывающими. Измерительные приборы, в которых предусмотрена регистрация показаний, носят название регистрирующих.

Погрешности измерений

Погрешность является одной из основных характеристик средств измерений.

Под погрешностью электроизмерительных приборов, измерительных преобразователей и измерительных систем понимается отклонение их выходного сигнала от истинного значения входного сигнала.

Абсолютная погрешность Δa прибора есть разность между показанием прибора ах и истинным значением а измеряемой величины, т.е.

Абсолютная погрешность, взятая с обратным знаком, называется поправкой.

Относительная погрешность δ представляет собой отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины. Относительная погрешность, обычно выражаемая в процентах, равна

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Приведенная погрешность γП есть выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности Δa к нормирующему значению апр

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Нормирующее значение – условно принятое значение, могущее быть равным конечному значению диапазона измерений (предельному значению шкалы прибора).

Погрешности средств измерений

Класс точности прибора указывают просто числом предпочтительного рода, например, 0,05. Это используют для измерительных приборов, у которых предел допускаемой приведенной погрешности постоянен на всех отметках рабочей части его шкалы (присутствует только аддитивная погрешность). Таким способом обозначают классы точности вольтметров, амперметров, ваттметров и большинства других однопредельных и многопредельных приборов с равномерной шкалой.

Класс точности прибора (например, амперметра) дается выражением

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

При установлении классов точности приборов нормируется приведенная погрешность, а не относительная. Причина этого заключается в том, что относительная погрешность по мере уменьшения значений измеряемой величины увеличивается.

По ГОСТ 8.401-80 в качестве значений класса точности прибора используется отвлеченное положительное число из ряда:

В интервале от 1 до 100 можно использовать в качестве значений класса точности числа:

(α = 1) 10; 15; 20; 25; 40; 50; 60.

Т.е. четырнадцать чисел 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6; 10; 15; 20; 25; 40; 50; 60.

Необходимо отметить, классы точности от 6,0 и выше считаются очень низкими.

Примеры решения задач

Определить для вольтметра с пределом измерения 30 В класса точности 0,5 относительную погрешность для точек 5, 10, 15, 20, 25 и 30 В и наибольшую абсолютную погрешность прибора.

  1. Класс точности указывают просто числом предпочтительного рода, например, 0,5. Это используют для измерительных приборов, у которых предел допускаемой приведенной погрешности постоянен на всех отметках рабочей части его шкалы (присутствует только аддитивная погрешность). Таким способом обозначают классы точности вольтметров, амперметров, ваттметров и большинства других однопредельных и многопредельных приборов с равномерной шкалой.

Приведенная погрешность (выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению)

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

постоянна и равна классу точности прибора.

Относительная погрешность однократного измерения (выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины)

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

уменьшается к значению класса точности прибора с ростом измеренного значения к предельному значению шкалы прибора.

Абсолютная погрешность однократного измерения

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

постоянна на всех отметках рабочей части шкалы прибора.

По условию задачи: Uизм = Ui = 5, 10, 15, 20, 25 и 30 В – измеренное значение электрической величины; Uпр = 30 В – предел шкалы вольтметра.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Наибольшая абсолютная погрешность вольтметра

Г. Н. Андреев Теория погрешностей

НазваниеГ. Н. Андреев Теория погрешностей
Дата18.12.2018
Размер245.5 Kb.
Формат файла

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Имя файлаPogr-1.doc
ТипДокументы
#60743
Подборка по базе: Крюкова Л.В. курсовой теория организации (реорганизация Этапы и , Определение организаций-источников комплектования муниципального, Экономическая теория.docx, Николаенко О.Е. Теория управления и организации РК №3..docx, философия теория познания.docx, юсупов 19.11 економическая теория.docx, КР Экономическая теория.docx, ЭТАЛОННЫЙ Андреев.doc, «Информатиканы_ теориялы_ негіздері» (1).docx, пз теория вероятностей.doc

Г.Н. Андреев

Теория погрешностей

Измерение физических величин

В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.

Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым.

Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины.

Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным.

Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины.

В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, размеру детали ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями, индикатора часового типа. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. э ти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения.

Необходимо уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений.

Почему возникают погрешности?

Классификация погрешностей

Значение погрешности измерения некоторой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

принято характеризовать:

  1. Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на опыте (измеренным)

    Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

    и истинным значением

    Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

    некоторой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. (1)

Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой величины Х.

  1. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. (2)

Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся. Следует отметить, что относительные погрешности редко применяются при линейных измерениях.

Качество результатов измерений какой-то величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

характеризуется относительной погрешностью

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. Величина

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

может быть выражена в процентах.

Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2), определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Задача измерений: правильно строить методику и правильно использовать полученные данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений.

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра контролера или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с грубыми ошибками погрешности измерений делятся на случайные и систематические.

с лучайные погрешности. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1). Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся контролером вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т.д. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины.

Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи рычага и т.д.) и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2). п огрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать заранее, зная характеристики прибора.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Расчет погрешностей прямых измерений

Систематические погрешности. Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности.

Класс точности прибора

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– это отношение абсолютной погрешности прибора

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

к максимальному значению измеряемой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

, которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

).

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Тогда абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

такого прибора определяется соотношением:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т.е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.

Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами:

  • Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.
  • Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления 1 .
  • Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда.
  • Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.

Случайные погрешности. Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии Скворцовой И.Л. «Ошибки измерений физических величин»).

Как же оценить истинное значение измеряемой величины?

Пусть при измерении некоторой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

мы получили N результатов:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

используется следующий алгоритм.

1). Вычисляется среднее арифметическое серии из N прямых измерений:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

3). Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

и некоторый коэффициент

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

, называемый коэффициентом Стъюдента:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

,

Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

(в табл. 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

).

Коэффициент надежности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.

Доверительный интервал

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.

Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.

Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности.

Если принять надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в табл. 1.

Таблица 1

Число измерений N23456789101112
Коэффициент Стъюдента

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

6,32,92,42,12,01,91,91,91,81,81,81,8

5). Вычисляется полная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные, и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы.

Для технических измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок (в 10 раз) меньше другой.

6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности.

Округление начинают с абсолютной погрешности. Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений, в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. При сравнительно небольшом коэффициенте надежности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

и малом числе измерений при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности. Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.

Если при измерении размера получен результат L =1,900 ± 0,004 мм, то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись 0,9 означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.

7). Вычисляется относительная погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.

р езультат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

;

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

;

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Здесь

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

– округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.

Пусть при измерении длины детали получили следующий результат:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

см и

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т.е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

см. Вычисляем относительную погрешность

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Результат измерений записываем так:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

см;

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

;

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Из приведенного примера видно, что округление абсолютной погрешности производится до первой значащей цифры в сторону увеличения (с избытком). Среднее значение измеряемой величины округляется с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности. При округлении относительной погрешности оставляем две значащие цифры.

Расчет погрешностей косвенных измерений

Пусть искомую величину

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

можно рассчитать, составив функциональную зависимость от непосредственно измеряемых величин

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

т огда говорят, что величина

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

измеряется косвенным образом.

Пусть при этом известны абсолютные погрешности всех прямых измерений

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

, причем эти погрешности малы по сравнению с самими измеряемыми величинами

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

. Тогда погрешность искомой величины

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

вычисляется подобно полному дифференциалу функции:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

,

только, в отличие от операции отыскания полного дифференциала, все минусы, получающиеся при дифференцировании, заменяются на плюсы, а дифференциалы аргументов на соответствующие абсолютные погрешности.

Формула для расчета относительной погрешности косвенного измерения:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Формула отыскания относительной погрешности совпадает с формулой

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

, если в последней заменить дифференциалы аргументов на абсолютные погрешности прямых измерений, а минусы на плюсы.

Чаще всего зависимость

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

имеет вид:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Тогда формула для расчета относительной погрешности данного косвенного измерения

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

будет следующей

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Примеры.

  1. Объем параллелепипеда определяется по формуле:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Относительная погрешность определения объема параллелепипеда

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность определения объема параллелепипеда

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

  1. Объем цилиндра определяется по формуле:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Относительная погрешность определения объема цилиндра

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность определения объема цилиндра

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Если число «Пи» округляем до сотых (

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

), то

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

  1. Объем шара определяется по формуле:

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Относительная погрешность определения объема шара

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Абсолютная погрешность определения объема шара

Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда

.

Кафедра инженерной педагогики МАДИ (ГТУ)

Источник